Величайшие математические задачи - читать онлайн книгу. Автор: Йен Стюарт cтр.№ 31

читать книги онлайн бесплатно
 
 

Онлайн книга - Величайшие математические задачи | Автор книги - Йен Стюарт

Cтраница 31
читать онлайн книги бесплатно

Если мы работаем всего лишь с двумя слоями, разница между двумя вариантами не играет никакой роли. Мы можем без труда получить первый вариант укладки, просто повернув второй вариант на 60°. Эти варианты одинаковы «с точностью до симметрии». Но после укладки первых двух слоев у нас появляются два по-настоящему разных варианта для третьего слоя. Каждый новый слой имеет две системы выемок, показанных на рис. 19 слева светлыми и темными точками. В одной из них выемки соответствуют центрам шариков предыдущего слоя, которые на рис. 19 справа видны как светло— серые треугольнички. Во второй выемки соответствуют выемкам предпредыдущего слоя и видны на рис. 19 справа как треугольнички с вписанными в них крохотными белыми шестиугольничками. Чтобы получить гранецентрированную кубическую решетку, мы должны использовать для третьего слоя темно-серые позиции, а затем повторять такой порядок укладки до бесконечности.


Величайшие математические задачи
Величайшие математические задачи

Не до конца очевидно, однако, что результатом такой укладки станет гранецентрированная кубическая решетка. Где же здесь квадраты? Дело в том, что квадраты в такой укладке присутствуют, но располагаются наклонно, под углом. На рис. 20 показаны шесть последовательных треугольных слоев, из которых удалена часть шариков. Стрелками указаны ряды и столбцы скрытой внутри квадратной решетки. Все слои, параллельные данному, тоже выстроены по квадратной решетке, а между собой соотносятся в точности так же, как я выстраивал гранецентрированную кубическую решетку.

Насколько компактна такая упаковка? Мы измеряем компактность (эффективность) упаковки ее плотностью: долей общего объема, занимаемой шариками {20}. Чем больше плотность, тем компактнее упаковка. Кубики укладываются в параллелепипед с плотностью 1, заполняя весь объем. Между шариками, очевидно, в любом случае останутся промежутки, так что плотность их упаковки меньше единицы. Плотность гранецентрированной кубической решетки составляет в точности π/√18, это примерно 0,7405. При такой упаковке шарики заполняют чуть меньше трех четвертей пространства, и гипотеза Кеплера утверждает, что никакая упаковка шариков не может иметь плотность больше этой.


Величайшие математические задачи

Я сформулировал все это достаточно осторожно. Я не сказал, что «плотность гранецентрированной кубической решетки выше, чем любой другой». Такое утверждение было бы неверным, и в этом несложно убедиться. Для этого вернемся к построению гранецентрированной кубической решетки из треугольных слоев. Я сказал, что после укладки первых двух слоев возникает два варианта укладки третьего. Гранецентрированная кубическая решетка возникает во втором варианте — том, что с темно-серыми точками. Что произойдет, если мы пойдем по первому пути и используем светло-серые точки? Тогда шарики третьего слоя окажутся точно над шариками первого. Продолжив точно так же и помещая каждый новый слой точно над позапрошлым слоем, мы получим второй вариант объемной решетки: гексагональную. Она отличается от гранецентрированной кубической решетки, но имеет ту же плотность. Интуитивно это понятно, поскольку два разных способа укладки третьего слоя симметричны относительно поворота, а сам слой в обоих случаях ложится на предыдущий одинаково плотно.

Это единственные два способа решетчатой упаковки, которые можно получить при укладке стопки треугольных слоев, но в 1883 г. географ и кристаллограф Уильям Барлоу заметил, что для каждого следующего слоя мы можем произвольно выбрать любой из двух вариантов укладки. Поскольку оба варианта вносят в плотность всей стопки одинаковый вклад, плотность всех этих вариантов упаковки будет одинакова и равна π/√18. При этом существуют бесконечно много случайных последовательностей такого рода и, соответственно, бесконечно много различных вариантов упаковки с одинаковой плотностью.

Короче говоря, нет единственной самой плотной объемной упаковки шариков. Их бесконечно много, и все они одинаково плотные. Отсутствие единственно верного решения — предупреждение: проблема не так проста и прямолинейна. Если Кеплер был прав, то существует оптимальная плотность упаковки, но есть и бесконечное множество различных структур, ею обладающих. И чтобы доказать оптимальность этой плотности, недостаточно успешно пристраивать каждый новый шарик к предыдущим как можно плотнее. Есть варианты.

Конечно, торговцы фруктами обладают невероятно богатым опытом — ведь гранецентрированную кубическую решетку наверняка можно было увидеть на рынках Древнего Египта еще в додинастическую эпоху, — но одним лишь опытом в таком деле никак не обойдешься. Вообще, тот факт, что метод торговцев фруктами дает хороший результат, в определенной мере случайность. Задача торговца фруктами состоит не в том, чтобы упаковать апельсины как можно плотнее в пространстве, где возможна, в принципе, любая конструкция. Его задача — уложить плоды как можно надежнее в мире, где земля плоская, а сила тяжести действует сверху вниз. Поэтому торговец начинает с того, что выкладывает апельсины в один слой — это очень естественно; затем он добавляет сверху еще один слой и т. д. Если ящик, в который укладываются плоды, прямоугольный, то первый слой, скорее всего, будет выложен по квадратной решетке. Если площадь ничем не ограничена, то естественной будет либо квадратная, либо треугольная решетка. В конечном итоге обе дают гранецентрированную кубическую решетку — по крайней мере, если треугольные слои укладываются как следует. Вообще говоря, квадратная решетка представляется не лучшим вариантом — ведь это не самый плотный способ укладки одного слоя. Однако — скорее по счастливой случайности, чем в результате осознанного выбора — это, как оказалось, не имеет значения.

Физики не интересуются апельсинами, их больше занимает то, как соседствуют друг с другом атомы. Кристалл — это регулярная, пространственно периодическая конструкция из атомов. Гипотеза Кеплера утверждает, что периодичность кристалла — это естественное следствие максимально плотной «упаковки» атомов. Для большинства физиков само существование кристаллов является достаточным доказательством, — по их мнению, гипотеза Кеплера очевидно верна. Однако мы только что убедились, что существует бесконечно много способов упаковки шариков с точно такой же плотностью, как у гранецентрированной кубической и гексагональной решеток, и что способы эти не являются пространственно периодическими. Так почему в кристаллах природа использует именно периодические структуры? Возможно, ответ в том, что атомы не следует рассматривать как сферические объекты.

Вернуться к просмотру книги Перейти к Оглавлению Перейти к Примечанию